Diofanto de alejandría

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Problemas Famosos De Diofanto

La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en cambio, plantear la ecuación a base de los datos de un problema suele ser más difícil. Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir «la lengua vernácula a la algebraica». Pero el idioma del álgebra es lacónico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son de fácil traducción. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado de su dificultad, como se verá.

Los problemas que aparecerán a continuación serán más o menos originales, por su enunciado, por el procedimiento de resolución, por la solución, etc. etc.
No siempre se darán las soluciones de forma algebraica.

1. LA VIDA DE DIOFANTO. La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Reproducimos esta inscripción:

EN LA LENGUA VERNÁCULA	EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh milagro!, cuán larga fue su vida,	x
cuya sexta parte constituyó su infancia.	x/6
Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubriose su barbilla.	x/12
Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril.	x/7
Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito,	5
que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, que duró tan sólo la mitad de la de su padre a la tierra.	x/2
Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo.	x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4

2. EL CABALLO Y EL MULO. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: «¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si yo te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía». ¿Cuántos sacos llevaba el caballo, y cuántos el mulo?

EN LA LENGUA VERNÁCULA	EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA
Si yo te tomara un saco	x - 1
mi carga	y + 1
sería el doble que la tuya.	y + 1 = 2 (x - 1)
Y si te doy un saco,	y - 1
tu carga	x + 1
se igualaría a la mía	y - 1 = x + 1

3. LOS CUATRO HERMANOS. Cuatro hermanos tienen 45 duros. Si el dinero del primero se aumenta en 2 duros, el del segundo se reduce en 2 duros, el del tercero se duplica y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad de duros. ¿Cuánto dinero tenía cada uno?

EN LA LENGUA VERNÁCULA	EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA
Los cuatro hermanos tienen 45 duros.	x + y + z + t = 45
Si al dinero del primero se le agregan 2 duros	x + 2
al del segundo se restan 2 duros	y - 2
el del tercero se duplica	2z
y el del cuarto se divide por, dos,	t/2
a todos les quedará la misma cantidad de duros.	x+2 = y-2 = 2z = t/2

4. EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. Un granjero que tiene un rebaño de ovejas muy numeroso descubre una gran singularidad con respecto a su número. Si las cuenta de dos en dos, le sobra 1. Lo mismo ocurre cuando las cuenta de 3 en 3, de 4 en 4, etc.... hasta de 10 en 10. ¿Cuál es el rebaño más pequeño que se ajusta a estas condiciones?

5. COMERCIANTES DE VINOS. Dos comerciantes de vinos entraron en París llevando 64 y 20 barriles de vino respectivamente. Como no tenían dinero suficiente para pagar los derechos de aduana, el primero de ellos dio 5 barriles y 40 francos, mientras que el segundo dio 2 barriles, recibiendo 40 francos como cambio. ¿Cuál era el precio de cada barril y su impuesto aduanero?

6. EL PRECIO DE LOS HUEVOS. La señora Rogelia compró un cierto número de huevos, por los que pagó 60 ptas. Al volver a casa se le cayó la cesta rompiéndosele 2 huevos, con lo que el precio le resultó 12 ptas. más caro por docena, con respecto al que pagó inicialmente en el supermercado. ¿Cuántos huevos compró la señora Rogelia?

7. LOS DIEZ ANIMALES. Cincuenta y seis galletas han de servir de comida a diez animales; cada animal es un perro o un gato. Cada perro ha de obtener seis galletas y cada gato, cinco. ¿Cuántos perros y cuántos gatos hay?

8. LOROS Y PERIQUITOS. Cierta tienda de animales vende loros y periquitos; cada loro se vende a dos veces el precio de un periquito. Entró una señora y compró cinco loros y tres pequeños. Si en vez de eso hubiese comprado tres loros y cinco periquitos habría gastado 20 dólares menos. ¿Cuál es el precio de cada pájaro?

9. COCHES Y MOTOS. En un taller fueron reparados 40 vehículos, entre coches y motos. El número total de ruedas de los vehículos reparados fue de 100. ¿Cuántos coches y cuántas motos se repararon?

10. MONDANDO PATATAS. Dos personas mondaron 400 patatas; una de ellas mondaba tres patatas por minuto, la otra dos. La segunda trabajó 25 minutos más que la primera. ¿Cuánto tiempo trabajó cada una?

11. EL PRECIO DE LOS LIMONES. Tres docenas de limones cuestan tantos duros como limones dan por 16 duros. ¿Cuánto vale la docena de limones?

12. LA MÁQUINA DE PETACOS. Unos amigos, antes de echar una moneda en una máquina de petacos, han calculado que, para hacer partida, tienen que conseguir 392.750 puntos cada uno. Uno de ellos ha tenido que marcharse antes de comenzar a jugar con lo que, para obtener la deseada partida, los restantes amigos deben de conseguir 471.300 puntos cada uno. ¿Cuántos eran, inicialmente, los amigos? ¿Cuántos puntos necesitan para hacer partida?

13. TINTEROS Y CUADERNOS. Antonio ha comprado 5 tinteros y 4 cuadernos por 70 ptas. Luis ha pagado 46 ptas. por 3 tinteros y 4 cuadernos. ¿Cuánto vale un tintero y un cuaderno?

14. LA BALANZA Y LAS FRUTAS. Sabiendo que 3 manzanas y una pera pesan lo mismo que 10 melocotones, y 6 melocotones y una manzana pesan lo mismo que una pera. ¿Cuántos melocotones serán necesarios para equilibrar una pera?

15. VENTA DE HUEVOS. Una campesina llegó al mercado a vender huevos. La primera clienta le compró la mitad de todos los huevos más medio huevo. La segunda clienta adquirió la mitad de los huevos que le quedaban más medio huevo. La tercera clienta sólo compró un huevo. Con esto terminó la venta, porque la campesina no tenía más huevos. ¿Cuántos huevos llevó al mercado la campesina?

16. LAS MANZANAS DEL HORTELANO. Un hortelano lleva un canasto con manzanas. Encuentra a tres amigos y las da, al primero, la mitad de las manzanas más dos; al segundo, la mitad de las que le quedan más dos y, al tercero, la mitad de las sobrantes más dos. Aún sobró una manzana. ¿Cuántas llevaba al principio?

17. LAS TIERRAS DEL GRANJERO. Un granjero tenía algunas tierras. Un tercio lo destinaba al cultivo del trigo, un cuarto al cultivo de guisantes, un quinto al cultivo de judías, y en las veintiséis hectáreas restantes cultivaba maíz. ¿Cuántas hectáreas tenía en total?

18. PASTELES PARA LOS INVITADOS. Cierto día Ana estaba atendiendo a 30 invitados. Tenía 100 pasteles para repartir entre ellos. En lugar de cortar ningún .pastel a trozos, decidió dar 4 pasteles a cada uno de los invitados preferidos, y tres a cada uno de los demás invitados. ¿Cuántos eran sus invitados preferidos?

19. LOS PASTELES. Ana y Carlos están merendando pasteles. Ana tiene el triple que Carlos. Carlos no estaba muy conforme. A regañadientes, Ana, dio uno de sus pasteles a Carlos. Ahora todavía tenía el doble que Carlos. ¿Cuántos pasteles más tiene que darle Ana a Carlos para que cada uno tenga los mismos? ¿Cuántos pasteles había en total?

20. MÁS PASTELES. Ana tiene triple de pasteles que Carlos. Diego tiene la mitad que Carlos. Ana tiene 16 pasteles más que Carlos. ¿Cuántos pasteles tiene cada uno?

21. VENGA PASTELES. Carlos se comió 5/16 de los pasteles que había en la mesa. A continuación Diego se comió 7/11 de los pasteles restantes. Quedaron 8 pasteles para Ana. ¿Cuántos pasteles comió cada uno de los otros dos?

22. PASTELES GRANDES Y PEQUEÑOS. Un pastel grande cuesta lo mismo que tres pequeños. Siete grandes y cuatro pequeños cuestas 12 ptas. más que cuatro grandes y siete pequeños. ¿Cuánto cuesta un pastel grande?

23. SOLDADOS DEL REGIMIENTO. En un regimiento hay 4.000 soldados. Se licencian un cierto número de ellos. De los que quedan sabemos que el 63,636363...% tiene carnet de conducir y que el 92,2297297297...% no usa gafas. ¿Cuántos soldados se licenciaron?

24. ENCUESTA SOBRE EL VINO. Se hace una encuesta para saber si es rentable comercializar vino en polvo y vino en cubitos con los siguientes resultados: El 72,727272...% de las personas encuestadas no compraría vino en polvo y, el 74,594594...% de las personas encuestadas, no compraría vino en cubitos. ¿Cuál es el número mínimo de personas a las que se pasó la encuesta?

25. LA REVENTA. Manuel ha comprado dos entradas para ir al fútbol con un 10% de recargo. Si las vende ahora con un 15% de incremento sobre el precio de taquilla, se gana un 5% sobre el recargo que pagó. ¿De acuerdo?

26. ENCARECER UN 10% Y ABARATAR UN 10%. Una mercancía encareció un 10% y luego abarató en un 10%. ¿Cuándo era más barata, antes de encarecerla o después de abaratarla?

27. ABARATAR UN 10% Y ENCARECER UN 10%. Una mercancía se abarató un 10% y luego se encareció en un 10%. ¿Cuándo era más barata, antes de abaratarla o después de encarecerla?

28. GANANCIA Y PERDIDA EN LA VENTA DE LOS CUADROS. Un tratante de arte americano vendió un día dos cuadros por novecientos noventa dólares cada uno. Con uno sacó un beneficio del 10% y con el otro sufrió una pérdida del 10%. "Eso significa que hoy me he quedado igual que estaba", se dijo. ¿Estaba en lo cierto?

29. HÁMSTERES Y PERIQUITOS. El dueño de una pajarería compró cierto número de hámsteres y la mitad de ese número de parejas de periquitos. Pagó los hámsteres a 200 pesetas cada uno, y 100 por cada periquito. Para su venta al público, recargó el precio de compra en un 10 por ciento. Cuando tan sólo le quedaban siete animalitos por vender, descubrió que había recibido por los ya vendidos exactamente lo mismo que había pagado por todos ellos inicialmente. Su posible beneficio viene, pues, dado por el valor colectivo de los siete animales restante. ¿Cuál es el posible beneficio?

30. PASTELES SOBRE LA MESA. Sobre la mesa había una cierta cantidad de pasteles. Ana se comió la mitad y uno más. Blas se comió la mitad de los que quedaban y uno más. Carlos se comió la mitad de los que quedaban y uno más. Diego se comió la mitad de los que quedaban y uno más. Con esto se acabaron los pasteles. ¿Cuántos había sobre la mesa?

31. PASTELES COMO PAGO. Una empresa contrató a un empleado para trabajar durante 26 días. Estipularon que por cada día que trabajara, recibiría 3 pasteles, pero por cada día que holgazaneara no sólo no recibiría ninguno, sino que tendría que darle uno a la empresa. El empleado terminó ganando 62 pasteles. ¿Cuántos días trabajó?

32. OPOSICIONES AL AYUNTAMIENTO. A unas oposiciones al Ayuntamiento de Salamanca, se presentaron 37 candidatos. Todos los residentes en Salamanca capital consiguieron plaza y su número representaba el 95% del total de aprobados.
¿Cuántos aprobaron y cuántos eran de Salamanca capital?

33. EL MANOJO DE ESPÁRRAGOS. Una verdulera de legumbres tenía la costumbre de atar sus espárragos con un bramante de 30 cm. de longitud y formaba así manojos que vendía a 80 ptas. cada uno. Cómo esos manojos le parecían demasiado pequeños, dio en utilizar bramantes de doble longitud y, en consecuencia, vendía sus manojos de espárragos a 160 ptas. cada uno.
¿Calculaba bien la verdulera? ¿Qué precio debería pedir por cada manojo de espárragos?

34. MIDIENDO UN CABLE. Al tratar de medir un cable que tenía en casa, observé lo siguiente: Si medía de 2 en 2 metros me sobraba 1 metro. Si medía de 3 en 3 metros me sobraban 2 metros. Si de 4 en 4 me sobraban 3 metros. Si de 5 en 5 me sobraban 4 metros. Si de 6 en 6 me sobraban 5 metros. Estaba seguro de que el cable medía menos de 100 metros. ¿Cuántos metros medía?

35. VESTIDOS A GOGÓ. Sonia tiene un número de vestidos igual a los que posee Alicia divididos por los que tiene Ana. Alicia posee 42, pero tendría 8 veces los que tiene Gema si tuviera 14 más. ¿Cuántos vestidos tiene Sonia?

36. LOS DOS BEBEDORES. Un inglés y un alemán beben de un barril de cerveza por espacio de dos horas, al cabo de las cuales el inglés se queda dormido y el alemán se bebe lo que resta en 2 horas y 48 minutos; pero si el alemán se hubiera dormido en vez del inglés y éste hubiese continuado bebiendo, habría tardado en vaciar el barril 4 horas y 40 minutos. ¿En cuánto tiempo se lo hubiera bebido cada uno?

37. JUEGO EN FAMILIA. Mis amigos Juan y Pablo, con nuestros hijos Julio, José y Luis, disparamos con dardos sobre una diana con número en cada casilla. Cada uno marcó en cada tiro tantos puntos como tiros hizo (es decir: si alguien tiró 10 tiros anotó diez puntos en cada tiro). Cada padre se anotó 45 puntos más que su hijo. Yo disparé 7 tiros más que Luis y Julio 15 más que Pablo. ¿Cómo se llama mi hijo? ¿Quién es el hijo de Juan? ¿Cuántos puntos se marcaron? ¿Cuántos tiros se tiraron?

38. EL VASO DE VINO. Paco llena un vaso de vino y bebe una cuarta parte; vuelve a llenarlo con agua y bebe una tercera parte de la mezcla. Lo llena por segunda vez de agua y entonces bebe la mitad del vaso. ¿Cuánto vino puro le queda por beber, considerando la capacidad del vaso?

39. LAS CHOVAS Y LAS ESTACAS. Llegaron las chovas y se posaron en estacas. Si en cada estaca se posa una chova, hay una chova que se queda sin estaca. Pero si en cada estaca se posan dos chovas en una de las estacas no habrá chova. ¿Cuántas eran las chovas y cuántas las estacas?

40. LIBROS DESHOJADOS. Un escritor ha compuesto dos libros que suman, entre los dos, 356 páginas. El formato del primero es de 20x15 cm., y el del segundo de 17x12. Si extendiesen las hojas de los dos libros, cubrirían 4'2264 m². ¿Cuántas páginas tiene cada libro?

Portada Del Libro Arithmetica

Hipotesis

Diofanto De Alejandria es llamado el padre del Algebra,ademas de esot fue un famoso matematico griego.

Publico uan obra llamada Arithmetica que constaba de trece libros de los cuales solo se han hallado seis,se puede decir que en el libor Diofanto habla de sus estudios de ecuaciones con variables que tienen un valor racional(Ecuaciones Diofánticas),no era obra de texto o de carácter teorico sino mas bien de problemas.

Diofanto De Alejandria

Diofanto de Alejandría (Diophanti Alexandrini) (nacido alrededor del 200/214 - fallecido alrededor de 284/298) fue un antiguo matemático griego. Es considerado "el padre del álgebra".

Vida:

Nacido en Alejandría, nada se conoce con seguridad sobre su vida salvo la edad a la que falleció, gracias a este epitafio redactado en forma de problema y conservado en la antología griega:

"Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad."

donde x es la edad que vivió Diofanto

Según esto, Diofanto falleció a la edad de 84 años. Se ignora, sin embargo en qué siglo vivió. Si es el mismo astrónomo Diofanto que comentó Hipatia (fallecida en 415), habría fallecido antes del siglo V, pero si se trata de personas distintas cabe pensar que vivía a finales de dicho siglo, ya que ni Proclo ni Papo le citan, lo que resulta difícil de entender tratándose de un matemático que pasa por ser el inventor del álgebra. En opinión de Albufaraga, Diofanto vivía en los tiempos del emperador Juliano, hacia 365, fecha que aceptan los historiadores.

Obra:

El matemático alejandrino debe su renombre a su obra Arithmetica. Este libro, que constaba de trece libros de los que sólo se han hallado seis, fue publicado por Guilielmus Xylander1575 a partir de unos manuscritos de la universidad de Wittenberg, añadiendo el editor un manuscrito sobre números poligonales, fragmento de otro tratado del mismo autor. Los libros que faltan parece que se perdieron tempranamente ya que no hay razones para suponer que los traductores y comentaristas árabes dispusieran de otros manuscritos además de los que aún se conservan.

En esta obra realiza sus estudios de ecuaciones con variables que tienen un valor racional (ecuaciones diofánticas), aunque no es una obra de carácter teórico sino una colección de problemas. Importante fue también su contribución en el campo de la notación; si bien los símbolos empleados por Diofanto no son como los concebimos actualmente, introdujo importantes novedades como el empleo de un símbolo único para la variable desconocida (στ) y para la sustracción, aunque conservó las abreviaturas para las potencias de la incógnita (δς para el cuadrado, δδς para el duplo del cuadrado, χς para el cubo, δχς para la quinta potencia, etc.).

En 1621 vio la luz una edición comentada de Bachet de Méziriac, edición reimpresa con posterioridad en 1670 por el hijo de Pierre de Fermat incluyendo los comentarios que el célebre matemático francés había realizado en los márgenes de un ejemplar de la edición de Bachet que poseía. En una de dichas anotaciones se exponía, sin demostración, el último teorema de Fermat. En el precioso ejemplar de la edición de Bachet que Fermat poseía él dijo "haber encontrado una gran luz"